问题 已知曲线上点处切线的斜率为, 又知该曲线通过点, 求这曲线的方程。

有同学用如下的方法解这道题：

【资料图】

由题设, 求不定积分得到

因为点在曲线上，故有, 因此所求的曲线方程为

请问这样解题对不对？结果对不对？

答 这样解法不对，因而结果也就不对。因为被积函数的定义域是和两个区间，而题设中曲线通过点,表示, 而上面解法的关键一步用到的却是

把提到根号外面，这其实是假定0" data-formula-type="inline-equation">才可以的（在本题中就是1" data-formula-type="inline-equation">），因此所求的不定积分是上的不定积分，而不是上的不定积分，在1" data-formula-type="inline-equation">这种情况下代入来确定积分常数的值当然是不对的。

有了上面的分析，我们应该能比较容易地求出曲线的方程应为

一般来说，这已经是本题的答案了。当然如果还想考虑到1" data-formula-type="inline-equation">的情形，那么所求的曲线就可以写成分段函数

1\end{cases}," data-formula-type="block-equation">

大家注意，在1" data-formula-type="inline-equation">时的表达式就不能再加上什么, 而是要加上任意常数了。

从根号里面提出x²的时候，一定要注意x的正负号，大家一定要注意把这个当成习惯。